Invariablemente, en vísperas de fin de año, pienso en las balas perdidas en trayectorias verdugas que hieren y matan durante los primeros minutos del Año Nuevo. Es la imagen de una bala disparada hacia el cielo nocturno siguiendo una fina trayectoria parabólica, alcanzando una altura máxima para finalmente alcanzar en caída libre el cuerpo de un desdichado ser humano, ya sea en algún punto de la calle, de su patio o incluso en el mismo interior de su hogar, como lo fue el caso en 2008 de la niña Mía Alvarado Rodríguez, particularmente trágico para nosotros los juarenses.
La parábola es una de las secciones cónicas. Introducidas en la ciencia por la gran tradición matemática griega a través de Menecmo en el siglo IV A.C. y analizadas un siglo después en sumo detalle por Apolonio de Alejandría en el III A.C., las secciones cónicas son las curvas resultantes cuando cortamos un cono con un plano (digamos, con un cuchillo) realizando los cortes a distintas inclinaciones. Si el corte es perfectamente horizontal, la figura resultante, vista desde arriba, es un círculo, la primera sección cónica. Si el cuchillo se inclina un poco, el corte muestra un círculo alargado llamado elipse. Cuando la inclinación del cuchillo es tal que el corte es paralelo al borde (formalmente llamado la generatriz) del cono, la figura visible es precisamente una parábola, una curva abierta. Finamente, si el cuchillo corta el cono de forma perfectamente vertical, la curva resultante es la cuarta y última de las secciones cónicas, la hipérbola.
Isaac Newton demostró mucho tiempo después que más allá de una curiosidad geométrica, en nuestro universo físico las cuatro secciones cónicas (círculo, elipse, parábola e hipérbola) representan nada menos que las posibles trayectorias que planetas, cometas, asteroides y otros objetos siguen en realidad bajo la influencia de una poderosa fuerza central, como es el caso de la gravedad ejercida sobre ellos por una estrella como el sol. El círculo y la elipse describen evidentemente órbitas cerradas, periódicas, las seguidas por cuerpos gravitacionalmente ligados al sol u otras estrellas, como es el caso de los planetas. La parábola por el contrario es la trayectoria seguida por un cometa, por ejemplo, justo cuando adquiere la velocidad necesaria (la velocidad de escape) para desligarse gravitacionalmente del sol y no volver jamás al sistema solar al tratarse de una curva abierta.
Sobre la superficie de la Tierra, las parábolas son las trayectorias naturales de proyectiles en general y balas en particular. Las espectaculares imágenes del objeto del pasado 22 de diciembre visto desde los Ángeles California no eran las de un OVNI, sino las del cohete Falcon 9 de SpaceX en órbita parabólica. A primera aproximación, la física elemental de proyectiles como pelotas, obuses, cohetes o flechas es estudiada en preparatoria, donde es posible determinar con exactitud, por ejemplo, el alcance y altitud máxima de un proyectil cualquiera si su velocidad inicial y ángulo de tiro son conocidos. La mecánica newtoniana demuestra que la gravedad únicamente (fuerza vertical hacia abajo), en ausencia de fricción, darán a la trayectoria una forma perfectamente parabólica y simétrica, permitiendo derivar a partir de este principio todas las ecuaciones que permiten calcular los parámetros necesarios. Si los puntos de salida y llegada están al mismo nivel, la velocidad y ángulo de salida del proyectil serán iguales a su velocidad y ángulo de llegada, alcanzando aquel su mínima velocidad en el punto más alto de su recorrido, en el vértice de la parábola. El objeto lanzado tendrá siempre el alcance máximo, es decir llegará lo más lejos posible, cuando el ángulo de tiro sea exactamente 45 grados. Todo esto a primera aproximación, porque en realidad todo proyectil lanzado desde la Tierra está sujeto a la fuerza de fricción ejercida por la atmósfera, y eso modifica cualitativa y cuantitativamente el problema del tiro parabólico y varios de los resultados del análisis cuando despreciamos el papel de la fricción. El problema mucho más realista y complicado del tiro parabólico con fricción es considerado en cursos de física universitaria.
En un problema real como la trayectoria de una bala, la fricción con el aire se vuelve un factor muy importante que es imposible despreciar dada la altísima velocidad del proyectil. Usualmente, el problema del tiro parabólico con fricción se aborda siguiendo dos métodos: 1) suponiendo que la fuerza de fricción crece linealmente con la velocidad y 2) que la fricción es aun más sensible a la velocidad y aumenta proporcionalmente con el cuadrado de la misma. En el primer caso, el problema es tratable de forma analítica; en el segundo no, por lo que hay que hacer uso de métodos numéricos y aproximaciones. En ambas situaciones un hecho es obvio: la trayectoria real de una bala tomando en cuenta la fricción con el aire ya no es una parábola perfecta y simétrica, sino una parábola modificada. En esta, el proyectil adquiere una menor altura y tiene un menor alcance. Es claro que la fuerza de fricción con el aire impide que una bala llegue tan alto y tan lejos comparada con la trayectoria esperada en ausencia de aire. Además, en presencia de fricción el alcance máximo no ocurre a un ángulo de tiro de 45 grados, sino a un ángulo menor. En el aire, una bala disparada seguirá al principio una trayectoria parabólica muy parecida a aquella en ausencia de aire, pero poco después la fricción hará que la trayectoria se acorte y la bala empiece a caer siguiendo aun un camino curvo, sí, pero más vertical. Así, el ángulo de salida del proyectil es menor que el ángulo de llegada.
Resulta evidente que el problema de una bala perdida en la luna, carente de aire, sería mucho más fácil de resolver que en la Tierra. La física elemental y sus parábolas simétricas nos facilitarían determinar, por ejemplo, la dirección y distancia desde donde dicha bala fue disparada en la superficie lunar. En la Tierra es mucho más complicado, a partir de ciertas condiciones finales mínimas como la velocidad y ángulo de caída de un proyectil, determinar las condiciones iniciales como el punto desde donde fue lanzado.
El 1 de enero de 2008, hace justo 10 años cuando iniciaba el período más violento que nuestra ciudad ha vivido, de acuerdo a Servicios Periciales una bala perdida calibre 7.32 x 39mm disparada por un fusil AK-47 penetró el techo de cartón de la familia Alvarado Rodríguez, hiriendo de muerte a la pequeña Mia que dormía en su cama. En la mayoría de los casos de balas perdidas de Año Nuevo, es imposible saber nada más allá del calibre del proyectil. El caso de Mia Alvarado, sin embargo, presentaba una característica especial, y es que se conocían en principio dos puntos de la trayectoria de la bala (por donde penetró el techo y el punto de caída), que naturalmente definen el plano de la parábola seguida por el proyectil o, en otras palabras, la dirección de donde este provino.
Nunca he tenido la oportunidad de leer o escuchar en los medios, en palabras de un especialista en balística, una explicación técnica detallada sobre el difícil problema de las trayectorias parabólicas de balas perdidas de Año Nuevo, pero la física elemental aquí mencionada nos da un panorama muy general. En el caso Alvarado Rodríguez del 2008 aquí referido, basados en datos públicos como el calibre de la bala y el arma que la disparó, además de información balística accesible en línea y el hecho de que dos puntos de la trayectoria de la bala eran conocidos, un cálculo muy tosco en el que se incorporan incluso la densidad del aire y el área efectiva del proyectil nos diría que a un ángulo de tiro de 33 grados, una bala 7.32 X 39 mm con velocidad inicial aproximada de 730 m/s (2600 km/h) tiene un alcance de unos 2.4 kilómetros (compárense estos dos kilómetros y medio con el alcance esperado a esa velocidad y ese ángulo en ausencia de aire: velocidad al cuadrado por el seno de dos veces 33 grados, todo dividido por la aceleración de la gravedad: 532,900 x 0.9135/9.81= 49,600 m, en cifras redondas 50 km). Los dos puntos de la trayectoria de la bala, alineados y proyectados a la distancia darían una dirección específica de donde vino el proyectil, a no más de unos 3 kilómetros. Insisto que esto es una aproximación a un problema difícil con múltiples parámetros.
El 1 de enero del 2018 tuvo afortunadamente un saldo blanco en Cd. Juárez en cuanto a balas provenientes del cielo. Evitemos a toda costa celebrar el inicio de un Nuevo Año disparando balas al aire en parábolas letales.
Héctor Noriega Mendoza
Ponente. Investigador.
Maestría en Astronomía (UNAM | NMSU) y Doctor en Astronomía por la Universidad Complutense de Madrid (UCM)
Fundador de la Sociedad Astronómica Juarense, Cofundador del Proyecto Abel, Miembro de la Sociedad Mexicana para la Divulgación de la Ciencia y la Técnica, Miembro de la American Astronomical Society y Profesor de tiempo completo de Astronomía en UTEP.
